3.916 \(\int \frac{(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=124 \[ -\frac{c (a+b x)^{n+1} (4 a d-b c (1-n))}{2 a^2 x}-\frac{(a+b x)^{n+1} \left (2 a^2 d^2+4 a b c d n-b^2 c^2 (1-n) n\right ) \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{2 a^3 (n+1)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1}}{2 a x^2} \]

[Out]

-(c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(2*a*x^2) - (c*(4*a*d - b*c*(1 - n))*(a + b*x)^(1 + n))
/(2*a^2*x) - ((2*a^2*d^2 + 4*a*b*c*d*n - b^2*c^2*(1 - n)*n)*(a + b*x)^(1 + n)*Hy
pergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(2*a^3*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.191815, antiderivative size = 124, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.167 \[ -\frac{c (a+b x)^{n+1} (4 a d-b c (1-n))}{2 a^2 x}-\frac{(a+b x)^{n+1} \left (2 a^2 d^2+4 a b c d n-b^2 c^2 (1-n) n\right ) \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{2 a^3 (n+1)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1}}{2 a x^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3,x]

[Out]

-(c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(2*a*x^2) - (c*(4*a*d - b*c*(1 - n))*(a + b*x)^(1 + n))
/(2*a^2*x) - ((2*a^2*d^2 + 4*a*b*c*d*n - b^2*c^2*(1 - n)*n)*(a + b*x)^(1 + n)*Hy
pergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(2*a^3*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 16.5642, size = 102, normalized size = 0.82 \[ - \frac{c^{2} \left (a + b x\right )^{n + 1}}{2 a x^{2}} - \frac{c \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (4 a d - b c \left (- n + 1\right )\right )}{2 a^{2} x} - \frac{\left (a + b x\right )^{n + 1} \left (2 a^{2} d^{2} + b c n \left (4 a d - b c \left (- n + 1\right )\right )\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle |{1 + \frac{b x}{a}} \right )}}{2 a^{3} \left (n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**n*(d*x+c)**2/x**3,x)

[Out]

-c**2*(a + b*x)**(n + 1)/(2*a*x**2) - c*(a + b*x)**(n + 1)*(4*a*d - b*c*(-n + 1)
)/(2*a**2*x) - (a + b*x)**(n + 1)*(2*a**2*d**2 + b*c*n*(4*a*d - b*c*(-n + 1)))*h
yper((1, n + 1), (n + 2,), 1 + b*x/a)/(2*a**3*(n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.113297, size = 135, normalized size = 1.09 \[ \frac{\left (\frac{a}{b x}+1\right )^{-n} (a+b x)^n \left ((n-1) \left (c^2 n \, _2F_1\left (2-n,-n;3-n;-\frac{a}{b x}\right )+d^2 (n-2) x^2 \, _2F_1\left (-n,-n;1-n;-\frac{a}{b x}\right )\right )+2 c d (n-2) n x \, _2F_1\left (1-n,-n;2-n;-\frac{a}{b x}\right )\right )}{(n-2) (n-1) n x^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3,x]

[Out]

((a + b*x)^n*(2*c*d*(-2 + n)*n*x*Hypergeometric2F1[1 - n, -n, 2 - n, -(a/(b*x))]
+ (-1 + n)*(c^2*n*Hypergeometric2F1[2 - n, -n, 3 - n, -(a/(b*x))] + d^2*(-2 + n
)*x^2*Hypergeometric2F1[-n, -n, 1 - n, -(a/(b*x))])))/((-2 + n)*(-1 + n)*n*(1 +
a/(b*x))^n*x^2)

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.063, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{n} \left ( dx+c \right ) ^{2}}{{x}^{3}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{2} x^{2} + 2 \, c d x + c^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2)*(b*x + a)^n/x^3, x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 19.9613, size = 1807, normalized size = 14.57 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**n*(d*x+c)**2/x**3,x)

[Out]

-a**3*b**2*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1
)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gam
ma(n + 2)) + a**3*b**2*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n
+ 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + a**3*
b**2*b**n*c**2*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**
5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)
) - a**3*b**2*b**n*c**2*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a*
*4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a**3*b**2*b**n*
c**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) +
2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a**2*b**3*b**n*c**2*n**3*x*(a/b + x)**
n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*
gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + a**2*b**3*b**n*c**2*n**2
*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2
*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + a**2*b**3*b**n*c**2*n*x*(a/b + x)**n*ler
chphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma
(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a**2*b**3*b**n*c**2*n*x*(a/b
+ x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b*
*2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a**2*b**3*b**n*c**2*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1
)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gam
ma(n + 2)) + 2*a*b**4*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/
a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a*
*3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a*b**4*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**2*(a/b + x
)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*
(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a*b**4*b**n*c**2*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerc
hphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(
n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + a*b**4*b**n*c**2*(a/b + x)**2*
(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a*
*3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - b**5*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**3*(a/b + x)*
*n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x
*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + b**5*b**n*c**2*n*(a/b +
x)**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n
+ 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*b**n
*c*d*n**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(x*gamma(n + 2
)) + 2*b**n*c*d*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(x*gam
ma(n + 2)) - 2*b**n*c*d*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(x*gamma(n + 2)) - 2*b**n*c*
d*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(x*gamma(n + 2)) - b**n*d**2*n*(a/b + x)**n*lerchphi
(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2) - b**n*d**2*(a/b + x)**n*lerchph
i(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2) + 2*b*b**n*c*d*n**2*(a/b + x)**
n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) + 2*b*b**n*c*d*n*(
a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - 2*b*b*
*n*c*d*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - 2*b*b**n*c*d*(a/b + x)**n*
gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b*b**n*d**2*n*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a,
1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b*b**n*d**2*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1
+ b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - 2*b**2*b**n*c*d*n**2*(a/b +
x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a**2*x*gamma(n +
2)) - 2*b**2*b**n*c*d*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*
gamma(n + 1)/(a**2*x*gamma(n + 2))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3, x)